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CODIGO DE HAMMING

En informática, el código de Hamming es un código detector y corrector de errores que lleva el nombre de su inventor,
Richard Hamming. En los datos codificados en Hamming se pueden detectar errores en uno o en dos bits, y también corregir
errores en un solo bit. Esto representa una mejora respecto a los códigos con bit de paridad, que pueden detectar errores
en sólo un bit, pero no pueden corregirlo.

Historia
Hamming trabajó en los laboratorios Bell en los años 40 en la computadora del modelo V de Bell, un monstruo electromecánico
basado en relés con velocidad de proceso de herzios. La entrada se alimentaba con tarjetas perforadas en las que, con
frecuencia, se cometían errores al ser leídas. En cada jornada, los errores encontrados se indicaban mediante luces de
destello para que los operadores pudieran corregir el problema. Fuera de las horas laborales y durante los fines de semana,
cuando no había operadores, la máquina se dejaba preparada para el trabajo de la siguiente jornada.

Hamming trabajando los fines de semana, se sentía frustrado cada vez que tenía que recomenzar sus programas debido a la
falta de fiabilidad del lector de tarjetas. Los siguientes años trabajó en el problema de error-corrección, desarrollando un
arsenal de algoritmos cada vez más eficaces. En 1950 publicó lo qué ahora se conoce como código de Hamming, que aún hoy
sigue siendo utilizado.

Códigos pre-Hamming
Antes de los códigos Hamming se utilizaron ciertos códigos detectores de error, pero ninguno llegó a ser tan eficaz como
los de Hamming. A continuación se describen algunos de estos códigos.

Paridad
La paridad consiste en añadir un bit, denominado bit de paridad, que indique si el número de los bits de valor 1 en los
datos precedentes es par o impar. Si un solo bit cambiara por error en la transmisión, el mensaje cambiará de paridad y el
error se puede detectar (nótese que el bit donde se produzca el error puede ser el mismo bit de paridad). La convención más
común es que un valor de paridad de 1 indica que hay un número impar de unos en los datos, y un valor de paridad de 0
indica que hay un número par de unos en los datos.

La comprobación de paridad no es muy robusta, dado que si cambia de forma uniforme más de un solo bit, el bit de paridad
será válido y el error no será detectado. Por otro lado, la paridad, aunque puede detectar que hay error, no indica en qué
bit se cometió. Los datos se deben desechar por entero y volverse a retransmitir. En un medio ruidoso, una transmisión
correcta podría tardar mucho tiempo o incluso, en el peor de los casos, no darse nunca. El chequeo de paridad, aunque no es
muy bueno, usa un único bit, por lo que produce muy poca sobrecarga, y además permite la corrección de ese bit si es
conocida su posición.

Dos entre cinco
En los años 40 Bell utilizó un código algo más sofisticado conocido como dos-entre-cinco. Este código se basa en que cada
bloque de cinco bits (conocido como penta-bit) tuviera exactamente dos unos. De este modo, la computadora podría detectar
posibles errores cuando en su entrada no había exactamente dos unos en cada penta-bit.

Este código seguía únicamente detectando errores por cambio en un solo bit; si en un mismo penta-bit un 0 cambiaba a 1 y
un 1 cambiaba a 0, la regla de dos-entre-cinco se seguía cumpliendo y el error quedaba sin descubrir.

Repetición
Otro código utilizado consistía en repetir cada bit de datos varias veces para asegurarse de que la transmisión era
correcta. Por ejemplo, si el bit de datos que se enviará fuera un 1, un código de repetición con n=3, enviaría "111". Si
los tres bits recibidos no eran idénticos, había un error. En un ambiente sin demasiado ruido, la mayoría de las veces
solamente cambiaría un bit en cada paquete de tres bits. Por lo tanto, datos del tipo 001, 010, y 100 se corresponden al
bit 0, mientras que 110, 101, y 011 se corresponden con el bit 1. Es como si el bit original se obtuviera por mayoría en
una "votación". Un código con esta capacidad de reconstruir el mensaje original en la presencia de errores se conoce como
código corrector de errores.

Sin embargo, este código no puede reparar correctamente todos los errores. En nuestro ejemplo, si el error en la
transmisión provocara el cambio simultáneo de dos bits y el receptor recibiera "001", el sistema detectaría el error, pero
considerando que el bit original era 0, lo cual es incorrecto. Si se aumenta el número de veces que se repite cada bit a
cuatro (n=4), es posible detectar los errores en dos bits pero obviamente no se podrán corregir; con cinco, es posible
corregir errores de dos bits, pero no lo podrá hacer en errores de tres bits.

Por otra parte, el código de la repetición es extremadamente ineficaz, pues reduce la velocidad de transmisión por tres en
nuestro ejemplo original y su eficacia cae drásticamente al aumentar el número de veces que cada bit se repite para
detectar y corregir más errores.

Códigos Hamming
Si se añaden junto al mensaje más bits detectores-correctores de error y si esos bits se pueden ordenar de modo que
diferentes bits de error producen diferentes resultados, entonces los bits erróneos podrían ser identificados. En un
conjunto de siete bits, hay sólo siete posibles errores de bit, por lo que con tres bits de control de error se podría
especificar además de que ocurrió un error, qué bit fue el que lo causó.

Hamming estudió los esquemas de codificación existentes, incluido el de dos entre cinco, y generalizó sus conclusiones.
Para empezar, desarrolló una nomenclatura para describir el sistema, incluyendo el número de los bits de datos y el de los
bits detectores-correctores de error en un bloque. Por ejemplo, la paridad incluye un solo bit para cualquier palabra de
datos, así que las palabras del Código ASCII que son de siete bits, Hamming las describía como un código (8.7), esto es, un
total de 8 bits de los cuales 7 son datos. En el ejemplo anterior de la repetición, sería un código (3.1), siguiendo la
misma lógica. La relación de la información es el segundo número dividido por el primero, por nuestro ejemplo de la
repetición, 1/3.

Hamming también estudió los problemas que surgían al cambiar dos o más bits a la vez y describió esto como "distancia"
(ahora llamada distancia de Hamming en su honor). La paridad tiene una distancia de 2, dado que cualquier error en dos
bits no será detectado. La repetición (3.1)tiene una distancia de 3, pues son necesarios el cambio simultáneo de tres bits
para obtener otra palabra de código. La repetición (4.1) (cada bit se repite cuatro veces) tiene una distancia de 4, así
que el cambio de dos bits en el mismo grupo quedará sin definir.

Hamming estaba interesado en solucionar simultáneamente dos problemas: aumentar la distancia tanto como sea posible, a la
vez que se aumentan al máximo los bits de información. Durante los años 40 desarrolló varios esquemas de codificación que
mejoraban notablemente los códigos existentes. La clave de todos sus sistemas era intercalar entre los bits de datos los de
paridad.

Hamming (7,4)
Hoy, el código de Hamming se refiere al (7.4) que Hamming introdujo en 1950. El código de Hamming agrega tres bits
adicionales de comprobación por cada cuatro bits de datos del mensaje.

El algoritmo de Hamming (7.4) puede corregir cualquier error de un solo bit, y detecta todos los errores de dos bits.
Para un ambiente en el que el ruido pueda cambiar como máximo 2 bits de 7, el código Hamming (7.4) es generalmente el de
pérdida mínima.

El medio tendría que ser muy ruidoso para que se perdieran más de 2 bits de cada 7 (casi el 45% de los bits transmitidos),
y habría que considerar seriamente cambiar a un medio de transmisión más fiable.



El algoritmo es simple:
1. Todos los bits cuya posición es potencia de dos se utilizan como bits de paridad (posiciones 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,
etc.).
2. Los bits del resto de posiciones son utilizados como bits de datos (posiciones 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
17, etc.).
3. Cada bit de paridad se obtiene calculando la paridad de alguno de los bits de datos. La posición del bit de paridad
determina la secuencia de los bits que alternativamente comprueba y salta, a partir de éste, tal y como se explica a
continuación.

Posición 1: comprueba 1, salta 1, comprueba 1, etc.
Posición 2: comprueba 1, salta 2, comprueba 2, salta 2, comprueba 2, etc.
Posición 4: comprueba 3, salta 4, comprueba 4, salta 4, comprueba 4, etc.
Posición 8: comprueba 7, salta 8, comprueba 8, salta 8, comprueba 8, etc.
Posición 16: comprueba 15, salta 16, comprueba 16, salta 16, comprueba 16, etc.
Y así sucesivamente.

En otras palabras, el bit de paridad de la posición 2^k comprueba los bits en las posiciones que tengan al bit k en su
representación binaria. Dicho a la inversa, el bit 13, por ejemplo, es chequeado por los bits 8, 4 y 1, al ser estos los de
su representación binaria: 13=1101(2); 8=1000(2); 4=0100(2); 1=0001(2).
Así pues en la Posición 1, comprobaríamos los bits: 3, 5, 7, 9, 11...; en la Posición 2, los bits: 3, 6, 7, 10, 11, 14,
15...-; en la Posición 4 tendríamos: 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15... Así hasta completar la nueva cadena.
Ejemplo
Consideremos la palabra de datos de 7 bits "0110101". Para ver cómo se generan y utilizan los códigos Hamming para detectar
un error, observe las tablas siguientes. Se utiliza la d para indicar los bits de datos y la p para los de paridad.

En primer lugar los bits de datos se insertan en las posiciones apropiadas y los bits de paridad calculados en cada caso
usando la paridad par.
Cálculo de los bits de paridad en el código Hamming p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7
Palabra de datos (sin paridad): 0 1 1 0 1 0 1

p1 1 0 1 0 1 1
p2 0 0 1 0 0 1
p3 0 1 1 0
p4 0 1 0 1

Palabra de datos (con paridad): 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1

La nueva palabra de datos (con los bits de paridad) es ahora "10001100101". Consideremos ahora que el bit de la derecha,
por error, cambia de 1 a 0. La nueva palabra de datos será ahora "10001100100"; cuando se analice el modo en que se
obtienen los bits de paridad en los códigos de Hamming se observarán variaciones en la paridad, lo que significará que hay
error.
Comprobación de los bits de paridad (con primer bit de la derecha cambiado) p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Prueba de
paridad Bit de paridad
Palabra de datos recibida: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1

p1 1 0 1 0 1 0 Error 1
p2 0 0 1 0 0 0 Error 1
p3 0 1 1 0 Correcto 0
p4 0 1 0 0 Error 1

El paso final es evaluar los bits de paridad (recuerde que el fallo se encuentra en d7). El valor entero que representan
los bits de paridad es 11, lo que significa que el bit décimo primero de la palabra de datos (bits de paridad incluidos)
es el erróneo y necesita ser cambiado.

p4 p3 p2 p1
Binario 1 0 1 1
Decimal 8 2 1 S = 11
Cambiando el bit décimo primero 10001100100 se obtiene de nuevo 10001100101. Eliminando los bits de paridad de Hamming
se vuelve a obtener la palabra de datos original 0110101.

Observe que en la comprobación de la paridad no se tienen en cuenta los bits de paridad. Si el error se produjera en uno
de ellos, en la comprobación sólo se detectaría un error, justo el correspondiente al bit de paridad causante del mismo.
Finalmente, cuando cambien dos bits, en la comprobación de paridad se obtendrá un valor decimal superior a 11, detectándose
el error; sin embargo no se podrá saber las posiciones de los dos bits que cambiaron.